Transformer学习笔记一：Positional Encoding（位置编码）
Transformer学习笔记一：Positional Encoding（位置编码）
小小引流一下，最近在更新ChatGPT系列，感兴趣的朋友可以移步猛猿：ChatGPT技术解析系列之：训练框架InstructGPT
自从2017年Transformer模型被提出以来，它已经从论文最初的机器翻译领域，转向图像，语音，视频等等方面的应用（实现作者们在论文结论里的大同之梦）。原论文的篇幅很紧密，不看代码的话，缺乏了很多细节描述。我的学历经历大概是两周啃paper+代码 => 两周挖细节=>未来这个模型还有很多值得端详。在Transformer系列的笔记里，我把模型拆成了各个零件进行学习，最后把这些零件组装成Transformer，涵盖内容如下：
- Positional Encoding （位置编码）
- Self-attention（自注意力机制），点击跳转
- Batch Norm & Layer Norm（批量标准化/层标准化）,点击跳转
- ResNet（残差网络），点击跳转
- Subword Tokenization（子词分词法），点击跳转
- 组装：Transformer
这是Transformer系列的第一篇。这个笔记系列（即上方超链接）持续更新，欢迎大家一起来学习～
本篇目录结构如下：
一、什么是位置编码
二、构造位置编码的方法 /演变历程
- 2.1 用整型值标记位置
- 2.2 用[0,1]范围标记位置
- 2.3 用二进制向量标记位置
- 2.4 用周期函数（sin）来表示位置
- 2.5 用sin和cos交替来表示位置
三、Transformer中位置编码方法：Sinusoidal functions
- 3.1 Transformer 位置编码定义
- 3.2 Transformer位置编码可视化
- 3.3 Transformer位置编码的重要性质
四、参考
一、什么是位置编码
在transformer的encoder和decoder的输入层中，使用了Positional Encoding，使得最终的输入满足：
$$input=input_embedding+positional_encoding$$
这里，input_embedding是通过常规embedding层，将每一个token的向量维度从vocab_size映射到d_model，由于是相加关系，自然而然地，这里的positional_encoding也是一个d_model维度的向量。（在原论文里，d_model = 512）
那么，我们为什么需要position encoding呢？在transformer的self-attention模块中，序列的输入输出如下（不了解self-attention没关系，这里只要关注它的输入输出就行）：
在self-attention模型中，输入是一整排的tokens，对于人来说，我们很容易知道tokens的位置信息，比如：
（1）绝对位置信息。a1是第一个token，a2是第二个token……
（2）相对位置信息。a2在a1的后面一位，a4在a2的后面两位……
（3）不同位置间的距离。a1和a3差两个位置，a1和a4差三个位置….
但是这些对于self-attention来说，是无法分辩的信息，因为self-attention的运算是无向的。因为，我们要想办法，把tokens的位置信息，喂给模型。
二、构造位置编码的方法 /演变历程
2.1 用整型值标记位置
一种自然而然的想法是，给第一个token标记1，给第二个token标记2…，以此类推。
这种方法产生了以下几个主要问题：
（1）模型可能遇见比训练时所用的序列更长的序列。不利于模型的泛化。
（2）模型的位置表示是无界的。随着序列长度的增加，位置值会越来越大。
2.2 用[0,1]范围标记位置
为了解决整型值带来的问题，可以考虑将位置值的范围限制在[0, 1]之内，其中，0表示第一个token，1表示最后一个token。比如有3个token，那么位置信息就表示成[0, 0.5, 1]；若有四个token，位置信息就表示成[0, 0.33, 0.69, 1]。
但这样产生的问题是，当序列长度不同时，token间的相对距离是不一样的。例如在序列长度为3时，token间的相对距离为0.5；在序列长度为4时，token间的相对距离就变为0.33。
因此，我们需要这样一种位置表示方式，满足于：
（1）它能用来表示一个token在序列中的绝对位置
（2）在序列长度不同的情况下，不同序列中token的相对位置/距离也要保持一致
（3）可以用来表示模型在训练过程中从来没有看到过的句子长度。
2.3 用二进制向量标记位置
考虑到位置信息作用在input embedding上，因此比起用单一的值，更好的方案是用一个和input embedding维度一样的向量来表示位置。这时我们就很容易想到二进制编码。如下图，假设d_model = 3，那么我们的位置向量可以表示成：
这下所有的值都是有界的（位于0，1之间），且transformer中的d_model本来就足够大，基本可以把我们要的每一个位置都编码出来了。
但是这种编码方式也存在问题：这样编码出来的位置向量，处在一个离散的空间中，不同位置间的变化是不连续的。假设d_model = 2，我们有4个位置需要编码，这四个位置向量可以表示成[0,0],[0,1],[1,0],[1,1]。我们把它的位置向量空间做出来：
如果我们能把离散空间（黑色的线）转换到连续空间（蓝色的线），那么我们就能解决位置距离不连续的问题。同时，我们不仅能用位置向量表示整型，我们还可以用位置向量来表示浮点型。
2.4 用周期函数（sin）来表示位置
回想一下，现在我们需要一个有界又连续的函数，最简单的，正弦函数sin就可以满足这一点。我们可以考虑把位置向量当中的每一个元素都用一个sin函数来表示，则第t个token的位置向量可以表示为：
$$PE_t=[sin(\frac{1}{2^0}t),sin(\frac{1}{2^1}t)\ldots,sin(\frac{1}{2^{i-1}}t),\ldots,sin(\frac{1}{2^{d_{model}-1}}t)]$$
结合下图，来理解一下这样设计的含义。图中每一行表示一个$PE_{t}$，每一列表示 $PE_{t}$中的第i个元素。旋钮用于调整精度，越往右边的旋钮，需要调整的精度越大，因此指针移动的步伐越小。每一排的旋钮都在上一排的基础上进行调整（函数中t的作用）。通过频率$\frac1{2^{i-1}}$来控制sin函数的波长，频率不断减小，则波长不断变大，此时sin函数对t的变动越不敏感，以此来达到越向右的旋钮，指针移动步伐越小的目的。 这也类似于二进制编码，每一位上都是0和1的交互，越往低位走（越往左边走），交互的频率越慢。
越往左边走，交互频率越慢
由于sin是周期函数，因此从纵向来看，如果函数的频率偏大，引起波长偏短，则不同t下的位置向量可能出现重合的情况。比如在下图中(d_model = 3），图中的点表示每个token的位置向量，颜色越深，token的位置越往后，在频率偏大的情况下，位置响亮点连成了一个闭环，靠前位置（黄色）和靠后位置（棕黑色）竟然靠得非常近：
为了避免这种情况，我们尽量将函数的波长拉长。一种简单的解决办法是同一把所有的频率都设成一个非常小的值。因此在transformer的论文中，采用了 $\frac{1}{10000^{i/(d_{model}-1)}}$ 这个频率（这里i其实不是表示第i个位置，但是大致意思差不多，下面会细说）
总结一下，到这里我们把位置向量表示为：
$$PE_t=[sin(w_0t),sin(w_1t)\ldots,sin(w_{i-1}t),\ldots,sin(w_{d_{model}-1}t)]$$
其中， $w_i=\frac{1}{10000^{i/(d_{model}-1)}}$
2.5 用sin和cos交替来表示位置
目前为止，我们的位置向量实现了如下功能：
（1）每个token的向量唯一（每个sin函数的频率足够小）
（2）位置向量的值是有界的，且位于连续空间中。模型在处理位置向量时更容易泛化，即更好处理长度和训练数据分布不一致的序列（sin函数本身的性质）
那现在我们对位置向量再提出一个要求，不同的位置向量是可以通过线性转换得到的。这样，我们不仅能表示一个token的绝对位置，还可以表示一个token的相对位置，即我们想要：
$$PE_{t+\triangle t}=T_{\triangle t}*PE_t$$
这里，T表示一个线性变换矩阵。观察这个目标式子，联想到在向量空间中一种常用的线形变换——旋转。在这里，我们将t想象为一个角度，那么$\triangle t$就是其旋转的角度，则上面的式子可以进一步写成：
$$\begin{pmatrix}\sin(t+\triangle t)\\cos((t+\triangle t)\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}\cos\triangle t&\sin\triangle t\-\sin\triangle t&\cos\triangle t\end{pmatrix}\begin{pmatrix}\sin t\\cos t\end{pmatrix}$$
有了这个构想，我们就可以把原来元素全都是sin函数的 $PE_{t}$做一个替换，我们让位置两两一组，分别用sin和cos的函数对来表示它们，则现在我们有：
$$PE_{t}=[sin(w_0t),cos(w_0t),sin(w_1t),cos(w_1t),\ldots,sin(w_{\frac{d_{model}}{2}-1}t),\cos(w_{\frac{d_{model}}{2}-1}t)]$$
在这样的表示下，我们可以很容易用一个线性变换，把$PE_{t}$转变为$PE_{t+\triangle t}$ :
$$PE_{t+\triangle t}=T_{\triangle t}*PE_{t}=\begin{pmatrix}\begin{bmatrix}cos(w_0\bigtriangleup t) & sin(w_0\bigtriangleup t)\ -sin(w_0\bigtriangleup t) & cos(w_0\bigtriangleup t)\end{bmatrix} & \cdots & 0\ \cdots & \cdots & \cdots\ 0 & \cdots & \begin{bmatrix}cos(w_{\frac{d_{madd}}2-1}\bigtriangleup t) & sin(w_{\frac{d_{madd}}2-1}\bigtriangleup t)\ -sin(w_{\frac{d_{madd}}2-1}\bigtriangleup t) & cos(w_{\frac{d_{madd}}2-1}\bigtriangleup t)\end{bmatrix}\end{pmatrix}\begin{pmatrix}sin(w_0t)\ cos(w_0t)\ \cdots\ sin(w_{\frac{d_{madd}}2-1}t)\ cos(w_{\frac{d_{madd}}2-1}t)\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}sin(w_0(t+\triangle t))\ cos(w_0(t+\triangle t))\ \cdots\ sin(w_{\frac{d_{madd}}2-1}(t+\triangle t))\ cos(w_{\frac{d_{madd}}2-1}(t+\triangle t))\end{pmatrix}$$
三、Transformer中位置编码方法：Sinusoidal functions
3.1 Transformer 位置编码定义
有了上面的演变过程后，现在我们就可以正式来看transformer中的位置编码方法了。
定义：
- t是这个token在序列中的实际位置（例如第一个token为1，第二个token为2…）
- $PE_t\in\mathbb{R}^d$是这个token的位置向量，$PE_t^{(i)}$表示这个位置向量里的第i个元素
- $d_{model}$是这个token的维度（在论文中，是512)
则$PE_t^{(i)}$可以表示为：
$$\left.PE_t^{(i)}=\left{\begin{array}{lr}\sin(w_kt),&ifi=2k\\cos(w_kt),&ifi=2k+1\end{array}\right.\right.$$
这里：$w_k=\frac{1}{10000^{2k/d_{model}}}$，$i=0,1,2,3,\ldots,\frac{d_{model}}2-1$
看得有点懵不要紧，这个意思和2.5中的意思是一模一样的，把512维的向量两两一组，每组都是一个sin和一个cos，这两个函数共享同一个频率$w_{i}$，一共有256组，由于我们从0开始编号，所以最后一组编号是255。sin/cos函数的波长（由$w_{i}$决定）则从 2𝜋 增长到 2𝜋∗10000。
3.2 Transformer位置编码可视化
下图是一串序列长度为50，位置编码维度为128的位置编码可视化结果：
可以发现，由于sin/cos函数的性质，位置向量的每一个值都位于[-1, 1]之间。同时，纵向来看，图的右半边几乎都是蓝色的，这是因为越往后的位置，频率越小，波长越长，所以不同的t对最终的结果影响不大。而越往左边走，颜色交替的频率越频繁。
3.3 Transformer位置编码的重要性质
让我们再深入探究一下位置编码的性质。
(1) 性质一：两个位置编码的点积(dot product)仅取决于偏移量 △𝑡 ，也即两个位置编码的点积可以反应出两个位置编码间的距离。
证明：
$$\begin{aligned}
PE_{t}^{T}*PE_{t+\triangle t}& =\sum_{i=0}^{\frac{d_{model}}2-1}[sin(w_it)sin(w_i(t+\triangle t)+cos(w_it)cos(w_i(t+\triangle t)] \
&=\sum_{i=0}^{\frac{d_{model}}2-1}cos(w_i(t-(t+\triangle t))) \
&=\sum_{i=0}^{\frac{d_{model}}{2}-1}cos(w_i\bigtriangleup t)
\end{aligned}$$
**(2) 性质二：位置编码的点积是无向的，即 **$PE_{t}^{T}*PE_{t+\triangle t}=PE_{t}^{T}*PE_{t-\triangle t}$
证明：
由于cos函数的对称性，基于性质1，这一点即可证明。
我们可以分别训练不同维度的位置向量，然后以某个位置向量$PE_{t}$为基准，去计算其左右和它相距$\triangle t$的位置向量的点积，可以得到如下结果：
这里横轴的k指的就是$\triangle t$，可以发现，距离是对成分布的，且总体来说，$\triangle t$越大或者越小的时候，内积也越小，可以反馈距离的远近。也就是说，虽然位置向量的点积可以用于表示**距离(distance-aware)，但是它却不能用来表示位置的方向性(lack-of-directionality)**。
当位置编码随着input被喂进attention层时，采用的映射方其实是：
$PE_t^TW_Q^TW_KPE_{t+k}$
这里$W_Q^T$和$W_{K}$表示self-attention中的query和key参数矩阵，他们可以被简写成 𝑊 表示attention score的矩阵，到这里看不懂也没事，在self-attention的笔记里会说明的）。我们可以随机初始化两组 ，$W_{1}$，$W_{2}$，然后将$PE_t^TW_1PE_{t+k}$， $PE_t^TW_2PE_{t+k}$和$PE_t^TPE_{t+k}$这三个内积进行比较，得到的结果如下：
绿色和黄色即是$W_{1}$，$W_{2}$的结果。可以发现，进入attention层之后，内积的**距离意识(distance-aware)**的模式也遭到了破坏。更详细的细节，可以参见复旦大学这一篇用transformer做NER的论文中。
在Transformer的论文中，比较了用positional encoding和learnable position embedding(让模型自己学位置参数）两种方法，得到的结论是两种方法对模型最终的衡量指标差别不大。不过在后面的BERT中，已经改成用learnable position embedding的方法了，也许是因为positional encoding在进attention层后一些优异性质消失的原因（猜想）。Positional encoding有一些想象+实验+论证的意味，而编码的方式也不只这一种，比如把sin和cos换个位置，依然可以用来编码。关于positional encoding，我也还在持续探索中。
